Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥-2的解集M；
（Ⅱ）對(duì)任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函數(shù)的形式，令y=x-a，通過討論求出a的范圍即可；
法二：設(shè)g（x）=f（x）-x，問題轉(zhuǎn)化為-a≥g（x）_max，求出g（x）的最大值，得到a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|-2|x-1|≥-2，
當(dāng)x≤-2時(shí)，x-4≥-2，即x≥2，所以x∈∅；
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，3x≥-2，即x≥-$\frac{2}{3}$，所以-$\frac{2}{3}$≤x＜1；
當(dāng)x≥1時(shí)，-x+4≥-2，即x≤6，所以1≤x≤6；
綜上，不等式f（x）≥-2的解集為M={x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}\right.$，
令y=x-a，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（1，3）時(shí)，-a=2，
所以當(dāng)-a≥2，即a≤-2時(shí)成立；
當(dāng)-a＜2即a＞-2時(shí)，令-x+4=x-a，得x=2+$\frac{a}{2}$，
所以a≥2+$\frac{a}{2}$，即a≥4，
綜上，a≤-2或a≥4．
解法二：（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4，x≥1}\\{2x，-2＜x＜1}\\{-4，x≤-2}\end{array}\right.$，
因?yàn)閷?duì)任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，
所以-a≥g（x）_max，
①當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）_max=g（a）=-2a+4，
所以-a≥-2a+4，所以a≥4，符合a＞1．
②當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）_max=g（1）=2，
所以-a≥2，所以a≤-2，符合a≤1，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．