Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=30，a_n+1=a_n+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求

an

n

的最小值及取最小值時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=30+2+4+6+…+2（n-1），由此能求出結(jié)果．
（2）由（1）得

an

n

=

n2-n+30

n

=n+

30

n

-1，由此利用均值定理能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=30，a_n+1=a_n+2n．
∴a_n-a_n-1=2（n-1），
a_n-1-a_n-2=2（n-2），
a_n-2-a_n-3=2（n-3），
…
a₃-a₂=4，
a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=30+2+4+6+…+2（n-1）
=30+

(n-1)(2+2n-2)

2

=n²-n+30．
（2）由（1）得

an

n

=

n2-n+30

n

=n+

30

n

-1≥2

n× 30 n

-1=2

30

-2，
當(dāng)且僅當(dāng)n≈

30

n

，即n=5或n=6時(shí)，

an

n

的最小值為10，此時(shí)n=5或6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和通項(xiàng)公式與項(xiàng)數(shù)n的比值的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意累加法的合理運(yùn)用．