Question

已知數列{a_n}滿足a₁=30，a_n+1=a_n+2n．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求

an

n

的最小值及取最小值時n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=30+2+4+6+…+2（n-1），由此能求出結果．
（2）由（1）得

an

n

=

n2-n+30

n

=n+

30

n

-1，由此利用均值定理能求出結果．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=30，a_n+1=a_n+2n．
∴a_n-a_n-1=2（n-1），
a_n-1-a_n-2=2（n-2），
a_n-2-a_n-3=2（n-3），
…
a₃-a₂=4，
a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=30+2+4+6+…+2（n-1）
=30+

(n-1)(2+2n-2)

2

=n²-n+30．
（2）由（1）得

an

n

=

n2-n+30

n

=n+

30

n

-1≥2

n× 30 n

-1=2

30

-2，
當且僅當n≈

30

n

，即n=5或n=6時，

an

n

的最小值為10，此時n=5或6．

點評：本題考查數列的通項公式和通項公式與項數n的比值的最小值的求法，是基礎題，解題時要注意累加法的合理運用．