(2013•黑龍江二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側棱PA丄底面ABCD底面ABCD為矩形,E為PD上一點,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE.
(I)若F為PE的中點,求證BF∥平面ACE;
(Ⅱ)求三棱錐P-ACE的體積.
分析:(I)由題意可得E、F都是線段PD的三等分點.設AC與BD的交點為O,則OE是△BDF的中位線,故有BF∥OE,再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得 BF∥平面ACE.
(II)由條件證明CD⊥平面PAE,再根據(jù)三棱錐P-ACE的體積VP-ACE=VC-PAE=
1
3
S△PAE•CD=
1
3
2
3
1
2
•PA•PD)•AB=
1
9
•PA•PD•AB,運算求得結果.
解答:解:(I)若F為PE的中點,由于底面ABCD為矩形,E為PD上一點,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE,故E、F都是線段PD的三等分點.
設AC與BD的交點為O,則OE是△BDF的中位線,故有BF∥OE,而OE在平面ACE內(nèi),BF不在平面ACE內(nèi),故BF∥平面ACE.
(II)由于側棱PA丄底面ABCD,且ABCD為矩形,故有CD⊥PA,CD⊥AD,故CD⊥平面PAE,.
三棱錐P-ACE的體積VP-ACE=VC-PAE=
1
3
S△PAE•CD=
1
3
•(
2
3
•S△PAD)•AB=
1
3
2
3
1
2
•PA•PD)•AB=
1
9
•PA•PD•AB=
1
9
•1•2•1=
2
9
點評:本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用,用等體積法求棱錐的體積,屬于中檔題.
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