Question

17．已知實(shí)數(shù)x，y滿足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，則不等式圍成的區(qū)域面積為$\frac{5}{2}$，則2x-3y的取值范圍是[3，8]．

Answer 1

分析 實(shí)數(shù)x，y滿足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，如圖所示，求出矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得面積，令2x-3y=t，則直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，t取得最大值．直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t取得最小值．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，如圖所示，
A（1，-2），B$（\frac{7}{2}，\frac{1}{2}）$，C（3，1），D$（\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}）$．
|AB|=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，|BC|=$\sqrt{（3-\frac{7}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則不等式圍成的區(qū)域面積=$\frac{5\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$．
令2x-3y=t，則直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
t取得最大值t=2×1-3×（-2）=8．
直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t取得最小值t=2×3-3×1=3．
則2x-3y的取值范圍是[3，8]．
故答案為：$\frac{5}{2}$，[3，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃、不等式的性質(zhì)、方程的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．