Question

6．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于P點，其一條對稱軸與x軸交于C點，且PA=PC=2$\sqrt{3}$，PB=BC．則ω=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由題意利用正弦定理求得∠BCP=∠BPC=θ的值，可得∠PBA=2θ的值，判斷△PAB為直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得AB的值，可得半個周期的值，從而求得ω的值．

解答 解：由題意PA=PC=2$\sqrt{3}$，可得△PAC為等腰三角形，∴∠PAB=∠PCB=θ，
由PB=BC，可得∠BCP=∠BPC=θ，∴∠PBA=2θ．
令PB=BC=x，則AB=2x，△PAB中，由正弦定理可得$\frac{PB}{sin∠PAB}$=$\frac{AB}{sin∠APB}$，
即$\frac{x}{sinθ}$=$\frac{2x}{sin（π-3θ）}$，∴$\frac{1}{sinθ}$=$\frac{2}{3sinθ-{4sin}^{3}θ}$，∴sinθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，∠PBA=2θ=$\frac{π}{3}$，∴∠APB=$\frac{π}{2}$．
由PA=PC=2$\sqrt{3}$，∴PB=BC=$\sqrt{3}$，∴AB=$\frac{PA}{cosθ}$=4=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象，正弦定理、直角三角形中的邊角關(guān)系以及三倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．