Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx（m＞0），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）在f（x）圖象上，且f（x）的最小值為-$\frac{1}{8}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{{2^{a_n}}}}{{（{2^{a_n}}-1）（{2^{{a_{n+1}}}}-1）}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）$f（x）=\frac{1}{2}{（{x+m}）^2}-\frac{m^2}{2}$，故f（x）的最小值為$-\frac{m^2}{2}=-\frac{1}{8}$．又m＞0，解得$m=\frac{1}{2}$，即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$．再利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出a_n．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{2^n}{{（{2^n}-1）（{2^{n+1}}-1）}}$=$\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，利用裂項求和方法即可得出．

解答 （1）解：$f（x）=\frac{1}{2}{（{x+m}）^2}-\frac{m^2}{2}$，
故f（x）的最小值為$-\frac{m^2}{2}=-\frac{1}{8}$．
又m＞0，所以$m=\frac{1}{2}$，即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$．
所以當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n；
當(dāng)n=1時，a₁=1也適合上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n．
（2）證明：由（1）知${b_n}=\frac{2^n}{{（{2^n}-1）（{2^{n+1}}-1）}}$=$\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$=$1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以T_n＜1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．