Question

14．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長；
（2）動點P在圓C上（不與A，B重合），試求△ABP的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)方程的關(guān)系求出圓C的直角坐標(biāo)方程即可，聯(lián)立直線的參數(shù)方程和圓的方程，求出弦長即可；
（2）求出直線的普通方程以及圓的參數(shù)方程，可設(shè)曲線C上的動點P（2+2cosθ，2sinθ），求出點P到直線l的距離，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出△ABP的面積的最大值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
所以x²+y²-4x=0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4．
將直線l的參數(shù)方程代入圓C：（x-2）²+y²=4，并整理得${t^2}+2\sqrt{2}t=0$，
解得t₁=0，${t_2}=-2\sqrt{2}$．
所以直線l被圓C截得的弦長為$|{t_1}-{t_2}|=2\sqrt{2}$．
（2）直線l的普通方程為x-y-4=0．
圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），
可設(shè)曲線C上的動點P（2+2cosθ，2sinθ），
則點P到直線l的距離$d=\frac{|2+2cosθ-2sinθ-4|}{{\sqrt{2}}}$=$|2cos（θ+\frac{π}{4}）-\sqrt{2}|$，
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{4}）=-1$時，d取最大值，且d的最大值為$2+\sqrt{2}$．
所以${S_{△ABP}}≤\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（2+\sqrt{2}）=2+2\sqrt{2}$，
即△ABP的面積的最大值為$2+\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程以及普通方程的轉(zhuǎn)化，考查點到直線的距離以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．