Question

已知F₁、F₂分別是橢圓=1（a＞b＞0 ）的左、右焦點，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點N，并且滿足，．設(shè)A、B是上半橢圓上滿足=的兩點，其中λ∈[]．
（1）求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)A、B兩點分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點P，求證：點P在一條定直線上，并求點P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓方程，利用已知可得關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，進而解出a，b得到標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線AB的斜率的取值范圍，可設(shè)其斜率為k，則利用前面的結(jié)果，得到直線AB的點斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用設(shè)而不求的思想，建立起λ與k的關(guān)系λ=f（k），進而利用λ∈[]的范圍解出k的取值范圍．
（2）本問題可通過利用函數(shù)（橢圓的上半部分圖象是一個函數(shù)關(guān)系）的導(dǎo)數(shù)求出斜率，進而得到切線方程，求出點P的坐標(biāo)，可觀察點P在某條定直線上即可．要求點P的縱坐標(biāo)的取值范圍，可在上面得到坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，利用（1）的結(jié)論，建立縱坐標(biāo)與直線AB的斜率的關(guān)系來求其范圍．
解答：解：（1）由于=2，||=2，∴．
解得，從而所求橢圓的方程為．（3分）
∵，∴A，B，N三點共線，而點N的坐標(biāo)為（-2，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由，消去x得，即，
根據(jù)條件可知，解得0＜|k|＜（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)韋達定理，得
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x2₊2，y₂），∴
從而，消去y₂得，
令，則，
由于，所以φ′（λ）＜0．
∴φ（λ）是區(qū)間上的減函數(shù)，從而φ，
即，
∴，
∴解得，而0＜k＜，
∴，
因此直線AB的斜率的取值范圍是（7分）

（2）上半橢圓的方程為，
且，
求導(dǎo)可得，
所以兩條切線的斜率分別為，
（8分）

[解法一]：切線PA的方程是，即．
又x₁²+2y₁²=2，從而切線PA的方程為，
同理可得切線PB的方程為，
由，可解得點P的坐標(biāo)（x，y）滿足
再由，得?x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁）
∴（11分）
又由（1）知，∴．
因此點P在定直線x=-1上，并且點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是[1，]（12分）

[解法二]：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
則可得切線PA的方程是，
而點A（x₁，y₁）在此切線上，
所以有（x₁-x），即xx₁+2yy₁=x₁²+2y₁²（9分）
所以有xx₁+2yy₁=2，①
同理可得xx₂+2yy₂=2②
根據(jù)①和②可知直線AB的方程為xx+2yy=2
而直線AB過定點N（-2，0），
∴-2x=2⇒x=-1，直線AB的方程為-2x+2yy=2，
∴k_AB=（11分）
又由（1）知，
所以有
因此點P在定直線x=-1上，并且點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是[1，]．（12分）
點評：本小題考查橢圓的概念，橢圓方程的求法，橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及與向量知識的綜合應(yīng)用．本題綜合運用了向量法，解不等式的方法，設(shè)而不求等思想方法；本題考查橢圓的知識綜合性較強，應(yīng)用概念也較為靈活，對學(xué)生的綜合能力素質(zhì)要求較高．