Question

17．已知$\frac{{{a^2}+2a+2}}{x}≤$$\frac{4}{{{x^2}-x}}+1$對于任意的x∈（1，+∞）恒成立，則（　　）

• A． a的最小值為-3
• B． a的最小值為-4
• C． a的最大值為2
• D． a的最大值為4

Answer 1

分析 $\frac{{{a^2}+2a+2}}{x}≤$$\frac{4}{{{x^2}-x}}+1$對于任意的x∈（1，+∞）恒成立，化為：a²+2a+2≤$\frac{4x}{{x}^{2}-x}$+x=f（x）的最小值．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：$\frac{{{a^2}+2a+2}}{x}≤$$\frac{4}{{{x^2}-x}}+1$對于任意的x∈（1，+∞）恒成立，
化為：a²+2a+2≤$\frac{4x}{{x}^{2}-x}$+x=f（x）的最小值．
f′（x）=$\frac{4（{x}^{2}-x）-4x（2x-1）}{（{x}^{2}-x）^{2}}$+1=$\frac{（x+1）（x-3）}{（{x}^{2}-x）^{2}}$，可得x=3時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值．
f（3）=5．
∴a²+2a+2≤5，化為：a²+2a-3≤0，即（a+3）（a-1）≤0，解得-3≤a≤1．
因此a的最小值為-3．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．