Question

9．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足，a₁=2，$（{{a_{n+1}}-{a_n}}）g（{a_n}）+f（{a_n}）=0\;（{n∈{N^*}}）$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的最值及相應的n．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)f（x）和g（x）的解析式化簡，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，再用構造法求出數(shù)列{a_n}的通項公式，；
（2）根據(jù)f（x）和g（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項公式化簡b_n，再用二次函數(shù)求極值的方法求出數(shù)列{b_n}的最值及相應的n．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），
數(shù)列{a_n}滿足，$（{{a_{n+1}}-{a_n}}）g（{a_n}）+f（{a_n}）=0\;（{n∈{N^*}}）$，
可得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0，
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0
∴a_n+1-1=$\frac{3}{4}$（a_n-1），a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為1，公比為$\frac{3}{4}$的等比數(shù)列，
∴a_n-1=（$\frac{3}{4}$）^n-1，即a_n=（$\frac{3}{4}$）^n-1+1；
（2）b_n=3f（a_n）-g（a_n）=3[（$\frac{3}{4}$）^n-1]²-4[（$\frac{3}{4}$）^n-1]，
令t=（$\frac{3}{4}$）^n-1，則y=3t²-4t=3（t-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
∵n∈N^*，
∴t的值分別為1，$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$，經(jīng)比較$\frac{3}{4}$比較接近$\frac{2}{3}$，
∴當n=2時，b_n有最小值是-$\frac{21}{16}$，當n=1時，b_n有最大值是-1．

點評 本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列知識，考查函數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．