Question

為向國際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，沈陽市今年新建三大類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程．現(xiàn)有來沈陽的3民工人相互獨(dú)立地從這60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)．
（Ⅰ）求這3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率；
（Ⅱ）將此3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)，設(shè)出每一種工程參與建設(shè)的人數(shù)，分析各個(gè)事件之間的相互獨(dú)立關(guān)系，概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率．
（Ⅱ）根據(jù)ξ為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，得到變量的可能取值，分析出變量符合二項(xiàng)分布，得到變量的概率的公式，寫出分布列，做出概率．

解答： 解：記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類和產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3．
由題意知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立，
且P（A_i）=

30

60

=

1

2

，P（B_i）=

20

60

=

1

3

，P（C_i）=

10

60

=

1

6

．
（Ⅰ）他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P=A₃³P（A₁B₂C₃）=6×

1

2

×

1

3

×

1

6

=

1

6

；
（Ⅱ）記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件D_i，i=1，2，3．
D₁，D₂，D₃相互獨(dú)立，且P（D_i）=P（A_i+C_i）=P（A_i）+P（C_i）=

30+10

60

=

2

3

∴ξ～B（3，

2

3

），即P（X=k）=

C

k 3

•(

2

3

)k(

1

3

)3-k（k=0，1，2，3）
∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

∴Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查變量符合二項(xiàng)分布，本題是一個(gè)概率的綜合題目．注意公式的應(yīng)用不要出錯(cuò)．