Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩頂點為A₁，A₂，虛軸兩端點為B₁，B₂，兩焦點為F₁，F₂．若以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，切點分別為A，B，C，D，則該雙曲線的離心率e=

5 +1

2

．

Answer 1

分析：根據題意，可得直線F₁B₁的方程為bx-cy+bc=0．由以A₁A₂為直徑的圓與直線F₁B₁相切，可得點O到直線F₁B₁的距離等于a，利用點到直線的距離公式建立關于a、b、c的等式，化簡整理得到關于離心率e的方程，解之即可得到
該雙曲線的離心率e的值．

解答：解：∵雙曲線的虛軸兩端點為B₁、B₂，兩焦點為F₁，F₂．
∴F₁（-c，0），B₁（0，b），可得直線F₁B₁的方程為y=

b

c

（x+c），即bx-cy+bc=0．
∵雙曲線的兩頂點為A₁、A₂，以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴點O到直線F₁B₁的距離等于半徑，即

|bc|

b2+(-c)2

=a，化簡得b²c²=a²（b²+c²），
∵b²=c²-a²，∴上式化簡為（c²-a²）c²=a²（2c²-a²），整理得c⁴-3a²c²+a⁴=0．
兩邊都除以a⁴，得e⁴-3e²+1=0，解之得e²=

3± 5

2

∵雙曲線的離心率e＞1，
∴e²=

3+ 5

2

，可得e=

3+ 5 2

=

5 +1

2

故答案為：

5 +1

2

點評：本題給出以雙曲線焦距與虛軸為對角線的菱形，在以實軸為直徑的圓內切于該菱形的情況下求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、點到直線的距離公式和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．