Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x3+x2+ax+1在（-1，0）上有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：f（x₂）＞

11

12

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有兩不等實(shí)根，可得

g(-1)=a＞0 g(0)=a＞0 g(- 1 2 )= 1 2 +(-1)+a＜0

，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）確定ax₂＞

1

2

x₂，可得f（x₂）=

2

3

x₂³+x₂²+ax₂+1＞

2

3

x₂³+x₂²+

1

2

x₂+1，設(shè)h（x）=

2

3

x³+x²+

1

2

x+1，x∈（-

1

2

，0），h（x）在（-

1

2

，0）遞增，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=

2

3

x3+x2+ax+1，
∴f′（x）=2x²+2x+a，
由題意知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有兩不等實(shí)根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+a，其圖象的對稱軸為直線x=-

1

2

，
故有

g(-1)=a＞0 g(0)=a＞0 g(- 1 2 )= 1 2 +(-1)+a＜0

，解得0＜a＜

1

2

…（6分）
（2）證明：由題意知x₂是方程2x²+2x+a=0的大根，從而x₂∈（-

1

2

，0），
由于0＜a＜

1

2

，∴ax₂＞

1

2

x₂，
∴f（x₂）=

2

3

x₂³+x₂²+ax₂+1＞

2

3

x₂³+x₂²+

1

2

x₂+1，
設(shè)h（x）=

2

3

x³+x²+

1

2

x+1，x∈（-

1

2

，0），
h′（x）=2（x+

1

2

）²+

1

2

＞0
∴h（x）在（-

1

2

，0）遞增，
∴h（x）＞h（-

1

2

）=

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12

，即f（x₂）＞

11

12

成立…（13分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．