Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＜5，設(shè)g（x）=f（x）+x，求證g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）現(xiàn)根據(jù)函數(shù)的解析式求得 f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），再求得 f′（x）=

(x-1)(x+1-a)

x

．再分a-1=1、a-1＜1、a-1＞1三種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)g（x）=f（x）+x的解析式，可得 g′（x）的解析式，根據(jù)1＜a＜5時(shí)g′（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1，它的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

．
（i）若a-1=1，即a=2，則f′（x）=

(x-1)2

x

＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，
則當(dāng)x∈（a-1，1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，a-1）、及x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）在（a-1，1）上單調(diào)遞減，在（0，a-1）、（1，+∞）單調(diào)遞增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)遞減，在（0，1）、（a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）g（x）=f（x）+x=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx+x，則g′（x）=x-（a-1）+

a-1

x

≥2

a-1

-（a-1）=1-(

a-1

-1)2，
由于1＜a＜5，故g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)增加．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．