Question

求下列各式中的x的值：
（1）ln（x-1）＜1     （2）    （3），其中a＞0且a≠1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ln（x-1）＜1=lne，利用對數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點以及對數(shù)函數(shù)的定義域可得 ，由此求得x的范圍．
（2）由 ，可得 ，即 3^x-1＜2，利用指數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點求出x的范圍．
（3）不等式即 a^2x-1＞（a）^2-x，分0＜a＜1和 a＞1兩種情況，分別求得解集．
解答：解：（1）∵函數(shù)y=lnx 在其定義域內是單調增函數(shù)，故由不等式 ln（x-1）＜1=lne，可得 ，所以 1＜x＜e+1．
（2）∵不等式 ，即 ，即 3^x-1＜2=．
再由函數(shù)y=3^x 在R上是增函數(shù)可得，x-1＜log₃2，x＜1+log₃2．
（3） 即 a^2x-1＞（a）^2-x．
當0＜a＜1時，由于y=a^x 在其定義域內是減函數(shù)，故由 a^2x-1＞（a）^2-x 可得 2x-1＜2-x，即x＜1．
當a＞1時，由于y=a^x 在其定義域內是增函數(shù)，故由 a^2x-1＞（a）^2-x 可得 2x-1＞2-x，即x＞1．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點、指數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．