Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C．
（1）求直線C₁B與底面ABC所成角的正弦值；
（2）若E為CC₁的中點，AB=

2

，求平面AEB₁與平面A₁EB₁的夾角的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CC₁⊥平面ABC，∠C₁BC中為直線C₁B與底面ABC所成角，由此能求出直線C₁B與底面ABC所成角的正弦值．
（2）由題設(shè)條件推導(dǎo)出異面直線A₁B₁與AE的夾角∠EAB等于二面角A-EB₁-A₁的平面角的大小，由此能求出平面AEB₁與平面A₁EB₁的夾角．

解答： 解：（1）∵BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB丄側(cè)面BB₁C₁C，
∴CC₁⊥平面ABC，
在Rt△BCC₁中，∠C₁BC中為直線C₁B與底面ABC所成角
∵BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，
∴BC₁=

4+1

=

5

，
∴sin∠C₁BC=

CC1

BC1

=

2

5

=

2 5

5

．
∴直線C₁B與底面ABC所成角的正弦值為

2 5

5

．
（2）∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥側(cè)面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥EB₁，且EB₁在面A₁EB₁內(nèi)，
∵EA⊥EB₁，EA在面AEB₁內(nèi)，
即A₁B₁，AE分別在兩個半平面內(nèi)，均和棱EB₁垂直，
∴異面直線A₁B₁與AE的夾角∠EAB等于二面角A-EB₁-A₁的平面角的大小，
∵AB=

2

，EB=1，
∴tan∠EAB=

BE

AB

=

2

2

，
∴平面AEB₁與平面A₁EB₁的夾角為arctan

2

2

．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．