Question

16．設函數$f（x）=\frac{1}{2}ln（2x）+\frac{1}{2}$，數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求證：$x＞\frac{1}{2}$時，f（x）＜x；
（2）求證：$\frac{1}{2}＜{a_n}≤1$（n∈N^*）；
（3）求證：$\sum_{i=1}^n{（{a_i}-{a_{i+1}}）}•{a_{i+1}}＜\frac{3}{8}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）令F（x）=f（x）-x=$\frac{1}{2}ln（2x）+\frac{1}{2}-x$，則${F}^{'}（x）=\frac{1-2x}{2x}$，利用導數性質能證明$x＞\frac{1}{2}$時，f（x）＜x．
（2）利用數學歸納法能證明$\frac{1}{2}＜{a_n}≤1$（n∈N^*）．
（3）推導出$\frac{1}{2}＜{a}_{n+1}=f（{a}_{n}）＜{a}_{n}≤1$，從而${a}_{i+1}＜\frac{{a}_{i}+{a}_{i+1}}{2}$，進而（a_i-a_i+1）a_i+1＜$\frac{1}{2}（{{a}_{i}}^{2}-{{a}_{i+1}}^{2}）$，由此能證明$\sum_{i=1}^n{（{a_i}-{a_{i+1}}）}•{a_{i+1}}＜\frac{3}{8}$（n∈N^*）．

解答 證明：（1）令F（x）=f（x）-x=$\frac{1}{2}ln（2x）+\frac{1}{2}-x$，
則${F}^{'}（x）=\frac{1-2x}{2x}$，又x＞$\frac{1}{2}$，∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）為減函數，
∴F（x）＜F（$\frac{1}{2}$）=0，
∴$x＞\frac{1}{2}$時，f（x）＜x．
（2）①當n=1時，a₁=1，$\frac{1}{2}＜{a}_{1}≤1$成立；
②假設n=k（k∈N^*）時，$\frac{1}{2}＜{a}_{k}≤1$，
當n=k+1（k∈N^*）時，${a}_{k+1}=f（{a}_{k}）=\frac{1}{2}ln（2{a}_{k}）+\frac{1}{2}$，
根據歸納假設$\frac{1}{2}＜{a}_{k}≤1$，
由①得：$\frac{1}{2}ln（2×\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}ln（2{a}_{k}）+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}ln（2×1）+\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}＜{a}_{k+1}≤1$，即n=k+1時命題成立．
綜上所述，$\frac{1}{2}＜{a_n}≤1$（n∈N^*）．
（3）由$\frac{1}{2}＜{a_n}≤1$（n∈N^*），${a}_{n+1}=f（{a}_{n}），x＞\frac{1}{2}，f（x）＜x$，
得$\frac{1}{2}＜{a}_{n+1}=f（{a}_{n}）＜{a}_{n}≤1$，
∴${a}_{i+1}＜\frac{{a}_{i}+{a}_{i+1}}{2}$，
∵a_i-a_i+1＞0，
∴（a_i-a_i+1）a_i+1＜（a_i-a_i+1）•$\frac{{a}_{i}+{a}_{i+1}}{2}$=$\frac{1}{2}（{{a}_{i}}^{2}-{{a}_{i+1}}^{2}）$，
∴$\sum_{i=1}^{n}（{a}_{i}-{a}_{i+1}）•{a}_{i+1}$＜$\frac{1}{2}（{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+…+{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n+1}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（{{a}_{1}}^{2}-{{a}_{n+1}}^{2}）=\frac{1}{2}（1-{{a}_{n+1}}^{2}）$＜$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$=$\frac{3}{8}$．
∴$\sum_{i=1}^n{（{a_i}-{a_{i+1}}）}•{a_{i+1}}＜\frac{3}{8}$（n∈N^*）．

點評 本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質、數列性質、放縮法的合理運用．