Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠PDA=45°，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求異面直線EF與CD所成的角；
（3）若AD=3，求點D到面PEF的距離．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理進行判斷．
（2）利用異面直線所成角的定義求夾角．
（3）利用向量法求點D到面PEF的距離．

解答：解：（1）取PD的中點M，連接AM，F(xiàn)M，
因為E，F(xiàn)分別是AB、PC的中點．
所以MF∥CD，且MF=

1

2

CD，
所以MF∥AE，且MF=AE，
即四邊形AEFM為平行四邊形．
因為EF?面PAD，所以EF∥平面PAD；
（2）因為PA⊥平面ABCD，矩形ABCD，所以PA⊥CD，CD⊥AD，
所以CD⊥面PAD，
因為AM?面PAD，
所以CD⊥AM，
所以CD與AM所成的角為90°．
由（1）知四邊形AEFM為平行四邊形，
所以EF∥AM．
所以異面直線EF與CD所成的角為90°．
（3）以A為坐標原點以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
因為∠PDA=45°，所以PA=AD=2，
當AD=3，則P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），
因為E是AB的中點，所以E（1，0，0）．
則

PE

=(1，0，-2)，

PC

=(2，3，-2)，

PD

=(0，3，-2)．
設平面PEF的法向量為

n

=(a，b，c)，則

n ? PE =0 n ? PC =0

，
所以

a=2c 2a+3b-2c=0

，不妨設c=1，則a=2，b=-

2

3

，
即

n

=(2，-

2

3

，1)，所以

n

•

PD

=-

2

3

×3-2×1=-4，
|

n

|=

7

3

，|

PD

|=

13

，
所以點D到面PEF的距離d=

| n • PD |

| n |

=

4

7 3

=

12

7

．

點評：本題主要考查線面平行的判定以及異面直線所成角的求法，要求熟練掌握相關的定義和判定定理．