Question

【題目】已知雙曲線：的焦距為，直線（）與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且時(shí)直線與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)在以線段為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)、分別是的左、右兩頂點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求證：線段在軸上的射影長(zhǎng)為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得雙曲線的，由等邊三角形的性質(zhì)可得，的方程，結(jié)合，，的關(guān)系求得，，進(jìn)而得到雙曲線的方程；

（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線和，應(yīng)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，設(shè)的中點(diǎn)為，求得的坐標(biāo)，由題意可得，應(yīng)用兩點(diǎn)的距離公式，解不等式可得所求范圍；

（3）求得，的坐標(biāo)和的坐標(biāo)，求得的垂直平分線方程和的方程，聯(lián)立解得的坐標(biāo)，求出，即可得證．

解：（1）當(dāng)直線與的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，由根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得，，又焦距為，則，

解得，，則所求雙曲線的方程為.

（2）設(shè)，，由，得，

則，，且，

又坐標(biāo)原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，則，即，

即，即，

則， 即，則或，

即實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）線段在軸上的射影長(zhǎng)是. 設(shè)，由（1）得點(diǎn)，

又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，

直線的斜率為，直線的斜率為 ，又，

則直線的方程為，即，

又直線的方程為，聯(lián)立方程，

消去化簡(jiǎn)整理，得，又，

代入消去，得，

即，則，

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則. 故線段在軸上的射影長(zhǎng)為定值.