已知橢圓的離心率為,短軸一個端到右焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為,求△AOB面積的最大值.

(Ⅰ) .
(Ⅱ) 面積取最大值.

解析試題分析：(Ⅰ)屬于橢圓的基本題型.通過建立的方程組，求得橢圓方程為.
(Ⅱ)解答本小題，應(yīng)注意討論軸和當(dāng)與軸不垂直的兩種情況.在與軸不垂直設(shè)直線的方程為.利用坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，建立 的方程.通過將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式，得到.應(yīng)用均值定理得到
．
試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，離心率為,短軸一個端到右焦點(diǎn)的距離為.
，，∴所求橢圓方程為.
(Ⅱ)設(shè).
①當(dāng)軸時，.
②當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為.
∵坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，，
把代入橢圓方程，整理得，


當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)時，，
綜上所述．
∴當(dāng)最大時，面積取最大值．
考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，均值定理的應(yīng)用.

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（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)且直線與斜率均存在時，求的最小值；
（3）若是線段的中點(diǎn)，且，問是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，使得動點(diǎn)滿足，若存在,求出的值和定點(diǎn)，;若不存在，請說明理由．

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