設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),是實(shí)數(shù))。
(1)當(dāng)時(shí),求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)在(0,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),f(x)有最大值1.
(1)
(2)
(3)存在使得當(dāng)時(shí),f(x)有最大值1
本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。
(1)因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)的解析式,利用偶函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性得到結(jié)論。
(2)因?yàn)榻o定區(qū)間單調(diào)遞增,即當(dāng)時(shí),
所以因?yàn)閒(x)在(0,1]上是增函數(shù),所以
(3)對(duì)于參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論得到最值。
解:(1)設(shè)   ---------1分
所以 -------2分
因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)    ----------3分
所以   ---------4分
(2)當(dāng)時(shí),
所以
因?yàn)閒(x)在(0,1]上是增函數(shù),所以  -------------6分
所以a的取值范圍是   ---------7分
(3)(i)當(dāng)時(shí),由(2)知f(x)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù)
所以不合題意,舍去
(ii)當(dāng)時(shí),在區(qū)間(0,1]上,
   -------------8分
由下表






0



極大值

f(x)在處取得最大值 ----------9分
  -------------10分
所以   --------11分
注意到,所以符合題意 --------12分
(iii)當(dāng)時(shí),在區(qū)間(0,1]上,
所以f(x)為減函數(shù),無(wú)最大值  --------13分
綜上所述,存在使得當(dāng)時(shí),f(x)有最大值1、
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