【題目】已知函數f(x)=2ln(x+1)+ ﹣(m+1)x有且只有一個極值. (Ⅰ)求實數m的取值范圍;
(Ⅱ)若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求證:x1+x2>2.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)定義域為(﹣1,+∞),
即求f'(x)=0在區(qū)間(﹣1,+∞)上只有一個解,
①當m≠0時,由f'(x)=0得x=1或 ,
則 ,m<0
②當m=0時, .得x=1符合題意,
綜上:當m≤0時,f(x)有且只有一個極值
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:m≤0,x=1時f(x)有且只有一個極大值.
又f(x1)=f(x2)(x1≠x2),不妨設﹣1<x1<1<x2
令g(x)=f(2﹣x)﹣f(x)(﹣1<x<1)
則g(x)=2ln(3﹣x)﹣2ln(x+1)+2x﹣2(m+1)
所以g(x)在(﹣1,1)上為減函數,故g(x)>g(1)=0
即當﹣1<x<1時,f(2﹣x)>f(x).
所以f(2﹣x1)>f(x1)=f(x2),即f(2﹣x1)>f(x2)
由(Ⅰ)知,f(x)在(1,+∞)上為減函數,且2﹣x1>1,x2>1,
所以2﹣x1<x2 , 故x1+x2>2
【解析】(Ⅰ)求出函數的導數,通過討論m的范圍,根據函數有且只有一個極值,求出m的范圍即可;(Ⅱ)不妨設﹣1<x1<1<x2 , 令g(x)=f(2﹣x)﹣f(x)(﹣1<x<1),根據函數的單調性證明即可.
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數,需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;求函數的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設 .有序數組 經m次變換后得到數組 ,其中 , ( 1,2, ,n), , .
例如:有序數組 經1次變換后得到數組 ,即 ;經第2次變換后得到數組 .
(1)若 ,求 的值;
(2)求證: ,其中 1,2, ,n.(注:當 時, , 1,2, ,n,則 .)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別是橢圓C: =1(a>b>0)的兩個焦點,P(1, )是橢圓上一點,且 |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差數列.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知動直線l過點F2 , 且與橢圓C交于A、B兩點,試問x軸上是否存在定點Q,使得 =﹣ 恒成立?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有垣厚五尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問幾何日相逢?各穿幾何?”,翻譯成今天的話是:一只大鼠和一只小鼠分別從的墻兩側面對面打洞,已知第一天兩鼠都打了一尺長的洞,以后大鼠每天打的洞長是前一天的2倍,小鼠每天打的洞長是前一天的一半,已知墻厚五尺,問兩鼠幾天后相見?相見時各打了幾尺長的洞?設兩鼠x 天后相遇(假設兩鼠每天的速度是勻速的),則x=( )
A.
B.
C.
D.
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