Question

（2012•靜安區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范圍，使y=f（x）在閉區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)；
（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最小值是關(guān)于a的函數(shù)m（a）．求m（a）的最大值及其相應(yīng)的a值；
（3）對(duì)于a∈R，研究函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=|x²-2x-3|的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)、坐標(biāo)，并寫出你的研究結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a圖象的對(duì)稱軸為x=-

a

2

．由f（x）在閉區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，能夠求出a的取值范圍．
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，m（a）=f（0）=3-a；當(dāng)-4≤a＜0時(shí)，m（a）=f（-

a

2

）=-

1

4

a²-a+3；當(dāng)a＜-4時(shí)，m（a）=f（2）=a+7．分段討論并比較大小得，能夠求出m（a）的最大值及其相應(yīng)的a值．
（3）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的實(shí)數(shù)解．設(shè)h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，由此入手進(jìn)行研究，能夠得到結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a圖象的對(duì)稱軸為x=-

a

2

．
因?yàn)閒（x）在閉區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，所以-

a

2

≤-1或-

a

2

≥3．
故a≤-6，或a≥2．…（4分）
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，m（a）=f（0）=3-a；
當(dāng)-4≤a＜0時(shí)，m（a）=f（-

a

2

）=-

1

4

a²-a+3；
當(dāng)a＜-4時(shí)，m（a）=f（2）=a+7．…（2分）
所以，m（a）=

a+7，a＜-4 - 1 4 a2-a+3，-4≤a＜0 3-a，a≥0

，
分段討論并比較大小得，當(dāng)a=-2時(shí)，m（a）有最大值4．…（6分）
（3）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．
即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的實(shí)數(shù)解．
設(shè)h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，
則直線y=a（x-1）與y=h（x）有公共點(diǎn)時(shí)的橫坐標(biāo)與上述問(wèn)題等價(jià)．
當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x-6；
解方程-2x-6=a（x-1），即（a+2）x=a-6，得x=

a-6

a+2

，a≠-2；…（1分）
當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x²+2x．
解方程-2x²+2x=a（x-1），
即2x²+（a-2）x-a=0，得x=-

a

2

或x=1；…（2分）
研究結(jié)論及評(píng)分示例：（滿分6分）
結(jié)論1：無(wú)論a取何實(shí)數(shù)值，點(diǎn)（1，4）必為兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)．…（1分）
結(jié)論2：（對(duì)某些具體的a取值進(jìn)行研究）．…（2分）
當(dāng)a=-2時(shí)，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（1，4）；
當(dāng)a=-6時(shí)，公共點(diǎn)有2個(gè)，坐標(biāo)為（1，4），（3，0）；
當(dāng)a=2時(shí)，公共點(diǎn)有2個(gè)，坐標(biāo)為（1，4）、（-1，0）．
（對(duì)每一個(gè)具體的a取值，結(jié)論正確給（1分），總分值不超過(guò)2分）
結(jié)論3：當(dāng)-2＜a＜2，-6＜a＜-2時(shí)，公共點(diǎn)有3個(gè)，
坐標(biāo)為（1，4）、（-

a

2

，|

a2

4

+a-3|）、（

a-6

a+2

，

|a2-17a+42|

(a+2)2

）．…（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．