Question

已知正項數(shù)列中，其前項和為，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和，求證：.

 

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、放縮放、累加法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項公式；第二問，要證，只需要證中每一項都小于中的每一項，利用放縮法，先得到，，只需證，通過放縮法、累加法證明不等式.

（1）法一：由得

當(dāng)時，，且，故 1分

當(dāng)時，，故，得，

∵正項數(shù)列，

∴ 4分

∴是首項為，公差為的等差數(shù)列.

∴ ，

∴ . 6分

法二：

當(dāng)時，，且，故 1分

由得， 2分

當(dāng)時，

∴ ，

整理得

∵正項數(shù)列，，

∴ ， 5分

∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

∴ . 6分

（2）證明：先證： 7分

.

故只需證， 9分

因為[]2

所以 12分

所以

當(dāng)取得到不等式，

相加得：

即： 14分

考點：等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、放縮放、累加法.