Question

在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=20，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁₀=S₁₅，
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n及使得S_n最大的序號(hào)n的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由首項(xiàng)a₁的值，利用等差數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)S₁₀=S₁₅，即可求出公差d的值，由首項(xiàng)a₁和d的值，寫(xiě)出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）求出的公差d和首項(xiàng)a₁，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S_n，配方后，根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法，即可求出S_n最大時(shí)序號(hào)n的值．

解答：解：（1）由題意可知：S10=10a1+

10×9

2

d，S15=15a1+

15×14

2

d
∵a₁=20，S₁₀=S₁₅即10a₁+45d=15a₁+105d
解得：d=-

5

3

∴an=-

5

3

n+

65

3

；（6分）
（2）由（1）知S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-

5

6

n2+

125

6

n
因?yàn)?span id="ceyigom" class="MathJye">Sn=-

5

6

(n-

25

2

)2+

3125

24

所以n=12，13時(shí)，S_n取得最大值．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及數(shù)列的函數(shù)特征．學(xué)生在求S_n取得最大值時(shí)n值時(shí)，注意n為正整數(shù)這個(gè)條件．