Question

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)．對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P_甲、P_乙；

產(chǎn)品\概率\工序	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在（I）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

產(chǎn)品\利潤(rùn)\等級(jí)	一等	二等
甲	5（萬(wàn)元）	2.5（萬(wàn)元）
乙	2.5（萬(wàn)元）	1.5（萬(wàn)元）

（Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示．該工廠有工人40名，可用資金60萬(wàn)元．設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II）的條件下，x、y為何值時(shí)，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時(shí)須給出圖示）

產(chǎn)品\用量\項(xiàng)目	工人（名）	資金（萬(wàn)元）
甲	8	5
乙	2	10

Answer 1

分析：這是一道概率，分布列、數(shù)學(xué)期望與線性規(guī)劃的綜合問(wèn)題，（1）根據(jù)兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，故生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P_甲、P_乙就是求甲乙兩種產(chǎn)品的兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)的概率．（2）我們要根據(jù)題目已知，分別求出隨機(jī)變量ξ、η的取值，并分析每總?cè)≈档母怕剩�即可得到隨機(jī)變量ξ、η的分布列，進(jìn)而求出各自的數(shù)學(xué)期望．（3）由（2）的結(jié)論，我們不難得到x，y滿足的不等關(guān)系，即約束條件，和目標(biāo)函數(shù)，用線性規(guī)劃的方法解決問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）P_甲=0.8×0.85=0.68，P_乙=0.75×0.8=0.6．
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ、η的分別列是

Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（Ⅲ）由題設(shè)知

5x+10y≤60 8x+2y≤40 x≥0 y≥0.

目標(biāo)函數(shù)為z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y．
作出可行域（如圖）：
作直線l：4.2x+2.1y=0，
將l向右上方平移至l₁位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，
此時(shí)z=4.2x+2.1y
取最大值．解方程組

5x+10y=60 8x+2y=40.

得x=4，y=4．即x=4，y=4時(shí)，z取最大值，z的最大值為25.2．

點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類(lèi)、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．