Question

已知數列{a_n}中，a_n=（

2

3

）^n-1[（

2

3

）^n-1-1]（n∈N^*），求數列{a_n}的最大項與最小項．

Answer 1

考點：數列的函數特性,數列遞推式

專題：函數的性質及應用

分析：轉化為a_n=t²-t=（t-

1

2

）²-

1

4

，根據數列的函數性，結合二次函數判斷即可．

解答： 解：設t=（

2

3

）^n-1，則a_n=t²-t=（t-

1

2

）²-

1

4

，
由t=（

2

3

）^n-1∈（0，1]，
當t=1時，n=1，數列{a_n}的最大項為0，即a₁=0．
當t=

1

2

為對稱軸，
當n=2時，t=

2

3

當n=3時，t=

4

9

，
當n=4時，t=

8

27

，
∵（0

1

2

）單調遞減，（

1

2

，1）單調遞增，
∴只有比較t=

2

3

，t=

4

9

，即可
∵

2

3

-

1

2

=

1

6

，

1

2

-

4

9

=

1

18

，

1

6

＞

1

18

∴當n=3時，t=

4

9

，數列{a_n}最小項a₃=-

20

81

．

點評：本題考查了函數的性質，在求解數列問題中的應用，關鍵是構造容易操作的函數，據單調性判斷即可．