已知M、N分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中點(diǎn)，求：
（1）MN和CD′所成的角；
（2）MN和AD所成的角．
考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角
專(zhuān)題：空間角
分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出MN和CD′所成的角．
（2）設(shè)MN和AD所成的角為α，則cosα=
|
DA
•
MN
|
|
DA
|•|
MN
|
，由此能求出MN和AD所成的角．
解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為2，
則M（2，2，1），N（1，2，2），
C（0，2，0），D′（0，0，2），
MN
=（-1，0，1），
CD′
=（0，-2，2），
設(shè)MN和CD′所成的角為θ，
cosθ=|cos＜
MN
，
CD′
＞|=|
MN
•
CD
|
MN
|•|
CD′
|
|=
2
2
×
8
=
1
2
，
∴θ=60°，
∴MN和CD′所成的角為60°．
（2）A（2，0，0），D（0，0，0），
DA
=（2，0，0），
設(shè)MN和AD所成的角為α，
則cosα=
|
DA
•
MN
|
|
DA
|•|
MN
|
=
2
2
2
=
2
2
，
∴α=45°，
∴MN和AD所成的角為45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線(xiàn)角的能力．解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長(zhǎng)方體，A1D1=2，A1A=2
3
，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，
（1）當(dāng)P為AD1得中點(diǎn)時(shí)，求異面直線(xiàn)AA1與B1P所成角的余弦值；
（2）當(dāng)PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)結(jié)論：
（1）如圖Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜邊AC上的點(diǎn)，|CD|=|CB|．以B為起點(diǎn)任作一條射線(xiàn)BE交AC于E點(diǎn)，則E點(diǎn)落在線(xiàn)段CD上的概率是
3
2
；
（2）設(shè)某大學(xué)的女生體重y（kg）與身高x（cm）具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的線(xiàn)性回歸方程為
y
=0.85x-85.71，則若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；
（3）為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，應(yīng)該用獨(dú)立性檢驗(yàn)最有說(shuō)服力；
（4）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，則P（ξ≤-2）=0.21；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知遞增的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且a1、a2、a4成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an ；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意n∈N*，都有
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=an+1，求c1+c2+…+c2015的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=
1
2
CD，且E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，A1B1的中點(diǎn)．
（1）求證：AG∥平面C1EF；
（2）求異面直線(xiàn)AG與C1E所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)有點(diǎn)A，B，C，D，滿(mǎn)足A，B∈l，C∉l，且|
CA
|≤|
CB
|，
CD
=sin2γ
CA
+cos2γ
CB
（γ∈R）．若有等式關(guān)系：①
CD
•
AB
=2016
AB 
2；②
1
tan∠CDB
+
1
tan∠B
-
1
tan∠A
=2015恒成立，則：
（Ⅰ）△ABC的形狀是
 
；
（Ⅱ）tan∠ADC=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，an=（
2
3
）n-1[（
2
3
）n-1-1]（n∈N*），求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若關(guān)于x的方程ax3-3x2+1=0正實(shí)數(shù)解有且僅有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、{a|a≤0}
B、{a|a≤0或a=2}
C、{a|a≥0}
D、{a|a≥0或a=-2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b＜a＜c，滿(mǎn)足
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA
，函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在區(qū)間[0，
π
3
]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[
π
3
，
π
2
]上單調(diào)遞減．
（1）證明：b，a，c成等差數(shù)列；
（2）若f（
π
9
）=cosA，且a=2，求△ABC的面積．

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