Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+m），（m∈R），其中x∈[0，15]，a＞0且a≠1．
（1）若1是關(guān)于方程f（x）-g（x）=0的一個(gè)解，求m的值．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：1是關(guān)于方程f（x）-g（x）=0的一個(gè)解，直接帶入計(jì)算求出m的值即可．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于$\sqrt{x+1}≤2x+m，x∈[{0，15}]$恒成立，從而解出m的取值范圍．

解答 解：由題意：1是關(guān)于方程f（x）-g（x）=0的一個(gè)解，可得：log_a2=2log_a（2+m），解得$m=-2+\sqrt{2}$或$m=-2-\sqrt{2}$
∵2+m＞0
∴$m=-2-\sqrt{2}$不符合題意．
所以m的值為$\sqrt{2}-2$．
（2）f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于$\sqrt{x+1}≤2x+m，x∈[{0，15}]$恒成立．
即：$m≥\sqrt{x+1}-2x$，x∈[0，15]恒成立．
令$u=\sqrt{x+1}，u∈[{1，4}]$，
則$\sqrt{x+1}-2x=-2{（{u-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{17}{8}，u∈[{1，4}]$
當(dāng)u=1時(shí)，$\sqrt{x+1}-2x$的最大值為1．
所以：m≥1即可恒成立．
故m的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的基本計(jì)算和恒成立問(wèn)題．恒成立問(wèn)題：常見(jiàn)的方法了最值法，分離參數(shù)法，判別式法，根據(jù)不同題型采用不同的方法．屬于中檔題．