Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－中，AP＝BQ＝b(0＜b＜1)，截面PQEF∥D，截面PQGH∥A．

(1)證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(2)證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；

(3)若E與平面PQEF所成的角為45°，求與平面PQGH所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)證明：在正方體中，，，又由已知可得，， 　　， 　　所以，， 　　所以平面． 　　所以平面和平面互相垂直．　　4分 　　(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知 　　，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ＝1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是 　　，是定值．　　8分 　　(Ⅲ)解：連結B交EQ于點M． 　　因為，， 　　所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等． 　　與(Ⅰ)同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值． 　　設交PF于點N，連結EN，由知 　　． 　　因為⊥平面PQEF，又已知與平面PQEF成角， 　　所以，即， 　　解得，可知E為BC中點． 　　所以EM＝，又， 　　故與平面PQCH所成角的正弦值為．　　12分 　　解法二： 　　以D為原點，射線DA，DC，D分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D－xyz．由已知得，故 　　，，，， 　　，，， 　　，，． 　　(Ⅰ)證明：在所建立的坐標系中，可得 　　， 　　． 　　因為，所以是平面PQEF的法向量． 　　因為，所以是平面PQGH的法向量． 　　因為，所以， 　　所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．　　4分 　　(Ⅱ)證明：因為，所以，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形． 　　在所建立的坐標系中可求得， 　　所以， 　　所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．　　8分 　　(Ⅲ)解：由已知得可得 　　， 　　即，解得． 　　所以，所以與平面PQGH所成角的正弦值為 　　．　　12分 　　說明：本小題主要考查空間中的線面關系，面面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．