【題目】已知橢圓E的焦點在x軸上,長軸長為4,離心率為 . (Ⅰ)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)已知點A(0,1)和直線l:y=x+m,線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB,求實數(shù)m的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓E的長軸長為4,∴a=2,離心率為 . ∴ ,c= ,∴b=1
∵橢圓E的焦點在x軸上,
∴橢圓E的標準方程為 ;
(Ⅱ)由條件可得直線AB的方程為y=﹣x+1.于是,有 , .
設弦AB的中點為M,則由中點坐標公式得 , ,由此及點M在直線l得
【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知可求出橢圓中的a,b的值,再根據(jù)橢圓的焦點在x軸上,就可得到橢圓方程.(Ⅱ)根據(jù)直線AB與直線l:y=x+m垂直,可得直線AB的斜率,結合A點坐標就可求出直線AB的方程,代入橢圓方程,化簡,利用韋達定理求出AB的中點坐標,代入直線l的方程,就可求出m的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
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【題目】已知向量 =(cosα﹣ ,﹣1), =(sinα,1), 與 為共線向量,且α∈[﹣ ,0].
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求 的值.
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【題目】某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備,投入設備后每年收益為21萬元.該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用an的信息如圖.
(1)求an;
(2)引進這種設備后,第幾年后該公司開始獲利;
(3)這種設備使用多少年,該公司的年平均獲利最大?
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【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設,當時,若對任意,當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】以邊長為的正三角形的頂點為坐標原點,另外兩個頂點在拋物線上,過拋物線的焦點的直線過交拋物線于兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)求證: 為定值;
(3)求線段的中點的軌跡方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ae﹣x , 若f′(x)≥2 恒成立,則a的取值范圍為( )
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[﹣3,0)
D.(﹣∞,﹣3]
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