Question

【題目】某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用an的信息如圖．

（1）求an；
（2）引進這種設備后，第幾年后該公司開始獲利；
（3）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，a1=2，a2=4，

∴每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，

∴an=a1+2（n﹣1）=2n

（2）解：設純收入與年數n的關系為f（n），

則f（n）=21n﹣[2n+ ×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，

由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，

解得10﹣5 ＜n＜10+5 ，

因為n∈N，所以n=2，3，4，…18．

即從第2年該公司開始獲利

（3）解：年平均收入為 =20﹣（n+ ）≤20﹣2×5=10，

當且僅當n=5時，年平均收益最大．

所以這種設備使用5年，該公司的年平均獲利最大．

【解析】（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，求得：an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）設純收入與年數n的關系為f（n），則f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引進這種設備后第2年該公司開始獲利．（3）年平均收入為 =20﹣（n+ ）≤20﹣2×5=10，由此能求出這種設備使用5年，該公司的年平均獲利最大．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．