(本小題滿分14分)
如圖:四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.
(Ⅰ)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅱ)證明:無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;
(Ⅲ)當(dāng)BE等于何值時,PA與平面PDE所成角的大小為45°
(I)當(dāng)點E為BC的中點時,
EF與平面PAC平行.
∵在△PBC中,
E、F分別為BC、PB的中點,
∴EF//PC 又EF平面PAC,
而PC平面PAC ∴EF//平面PAC.…4分
(II)證明:見解析;
(Ⅲ)BE=x=-,或BE=x=+(舍).
【解析】(I)當(dāng)E為BC的中點時,EF//PC,進而可得EF//平面ABCD.
(II) 無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF,這句話的實質(zhì)是證明AF⊥平面PBE.
(III) 關(guān)鍵是找出PA與平面PDE所成的角,具體做法:過A作AG⊥DE于G,連PG,又∵DE⊥PA,則DE⊥平面PAG,于是,平面PAG⊥平面PDE,它們的交線是PG,過A作AM⊥PG,垂足為M,則AM⊥平面PDE,則∠APG就是PA與平面PDE所成的角.也可利用向量法求解.
解法1:(I)當(dāng)點E為BC的中點時,
EF與平面PAC平行.∵在△PBC中,
E、F分別為BC、PB的中點,
∴EF//PC 又EF平面PAC,
而PC平面PAC ∴EF//平面PAC.…4分
(II)證明:∵PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,
∴EB⊥PA.又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP平面PAB,
∴EB⊥平面PAB,
又AF平面PAB,∴AF⊥BE. www.7caiedu.cn
又PA=AB=1,點F是PB的中點,∴AF⊥PB,……………………4分
又∵PB∩BE=B,PB,BE平面PBE,∴AF⊥平面PBE.
∵PE平面PBE,∴AF⊥PE.……………………8分
(Ⅲ)過A作AG⊥DE于G,連PG,又∵DE⊥PA,則DE⊥平面PAG,
于是,平面PAG⊥平面PDE,它們的交線是PG,過A作AM⊥PG,垂足為M,則AM⊥平面PDE,即PA在平面PDE的射影是PM,所以PA與平面PDE所成的角是∠APG=45°.
∴在RtPAG中,PA=AG=1,∴DG=,………………10分
設(shè)BE=x,∵△AGE≌△ABE,則GE=x,CE=-x,
在Rt△DCE中,(+x)2=(-x)2+12,得BE=x=-.……12分
解法二: (II)建立圖示空間直角坐標系,
則P(0,0,1),B(0,1,0),
設(shè)
∴AF⊥PE …8分
(Ⅲ)設(shè)平面PDE的法向量為
而=(0,0,1)依題意PA與平面PDE所成角為45°,
所以sin45°=,
,
得BE=x=-,或BE=x=+(舍).……………………12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
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π |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點,當(dāng)a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項和,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網(wǎng)店對一應(yīng)季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.
⑴ 求,滿足的關(guān)系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;
⑶ 證明:()
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