（1）已知y=
1
x
的圖象為雙曲線，在雙曲線的兩支上分別取點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為
2
2
2
2
；
（2）已知y=
3
x-
1
x
的圖象為雙曲線，在此雙曲線的兩支上分別取點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為
2
3
-2
2
3
-2
．
分析：（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，當(dāng)直線經(jīng)過雙曲線的中心被雙曲線截得的實(shí)軸長是線段是PQ的最小值．因此，求出雙曲線y=
1
x
的實(shí)軸所在直線為y=x，再求y=x與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到線段PQ的最小值．
（2）類似（1）的原理，利用導(dǎo)數(shù)工具求出雙曲線y=
3
x-
1
x
的實(shí)軸所在直線為y=（
3
-2）x，再聯(lián)解直線與雙曲線方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)后再用兩點(diǎn)間的距離公式，可算出線段PQ的最小值．
解答：解：（1）∵y=
1
x
的圖象為雙曲線，兩條漸近線分別為x軸和y軸
∴雙曲線的實(shí)軸在直線y=x上，直線y=x被雙曲線截得的線段長等于PQ的最小值
聯(lián)解
y=
1
x
y=x
，得交點(diǎn)為（1，1）和（-1，-1）
∴線段PQ的最小值為
(1+1)2+(1+1)2
=2
2

（2）函數(shù)y=
3
x-
1
x
的導(dǎo)數(shù)為y′=
3
+
1
x2
＞
3
，
所以函數(shù)的漸近線方程為：x=0與y=
3
x，
可得兩條漸近線的角平分線與x軸所成的傾斜角為-15°，
其方程為：y=tan（-15°）x，即y=（
3
-2）x，
因此，兩條漸近線的角平分線與函數(shù)y=
3
x-
1
x
的交點(diǎn)為：
（
2
2
，-
6
-2
2
2
），（-
2
2
，
6
-2
2
2
），
因此，線段PQ的最小值為
(-
2
2
-
2
2
)2+(
6
-2
2
2
+
6
-2
2
2
)2
=2
3
-2．
故答案為：2
2
，2
3
-2
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的方程，求直線被雙曲線截得線段PQ的最小值．著重考查了雙曲線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
y≥1
x≤3
x-y-1≥0
，則u=x2+y2的最大值是
13
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|
1
x
-1|．
（1）由函數(shù)y=
1
x
的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到函數(shù)y=f（x）的圖象，并作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）若集合A={y|y=f（x），
1
2
≤x≤2}，B=[0，1]，試判斷A與B的關(guān)系；
（3）若存在實(shí)數(shù)a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=|
1
x
-1|
（1）由函數(shù)y=
1
x
的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到函數(shù)y=f（x）的圖象？請作出y=f（x）的圖象；
（2）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）2+（y-1）2=1，則z=
y+1
x
的最大值與最小值分別為
4+
7
3
4+
7
3
和
4-
7
3
4-
7
3
．

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