Question

（2013•黃埔區(qū)一模）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐E-ADF的體積；
（2）求異面直線EF與BC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由題意，可得DE=1為三棱錐E-ADF的高，再算出△ADF的面積S，結(jié)合錐體體積公式即可算出三棱錐E-ADF的體積；
（2）連接BC₁、BD₁，根據(jù)異面直線所成角定義和三角形中位線定理，可得∠CBD₁（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與BC所成的角．然后在Rt△BCD₁中，算出∠CBD₁的正切值，即可得到異面直線EF與BC所成的角等于arctan

2

．

解答：解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為2，E為線段DD₁的中點(diǎn)．
∴DE⊥平面ADF，且DE=1為三棱錐E-ADF的高
∵F是BD的中點(diǎn)
∴△ADF的面積S=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_ABCD=1
因此，三棱錐E-ADF的體積為V=

1

3

×S_△ADF×DE=

1

3

×1×1=

1

3

（2）連接BC₁、BD₁
∵EF是△BDD₁的中位線，
∴EF∥BD₁，可得∠CBD₁（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與BC所成的角．
∵BC⊥平面C₁D₁DC，CD₁?平面C₁D₁DC，
∴Rt△BCD₁中，tan∠CBD₁=

CD1

BC

=

2 2

2

=

2

可得∠CBD₁=arctan

2

（銳角）
因此，異面直線EF與BC所成的角等于arctan

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中，求三棱錐的體積并求異面直線所成角，著重考查了異面直線及其所成的角及其求法、棱錐的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．