Question

（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）求B₁D與平面A₁C₁B所成的角度數(shù)．
（2）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA₁，AB，BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，求異面直線EF與GH所成的角．
（3）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABC₁D₁與正方體的其它各個(gè)面所成二面角的大小分別是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）先建立空間直角坐標(biāo)系，欲證EF∥面A₁C₁B，只需證明EF平行于平面A₁C₁B內(nèi)的一條直線，利用空間向量證明是平行向量，即可證明EF∥A₁C₁，而A₁C₁是平面A₁C₁B內(nèi)的一條直線，所以EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）欲求B₁D與平面A₁C₁B所成的角，只需證明DB₁⊥平面BA₁C₁，則B₁D與平面A₁C₁B所成的角為90°，利用空間向量證明
DB₁⊥平面BA₁C₁，先求出，以及平面A₁C₁B中兩個(gè)向量，，用計(jì)算，，都等于0，即可證明DB₁⊥平面BA₁C₁，求出B₁D與平面A₁C₁B所成的角的度數(shù)．
（2）欲求異面直線EF與GH所成的角，只需求出向量的夾角，再結(jié)合異面直線所成角的范圍判斷異面直線EF與GH所成的角應(yīng)為向量夾角的補(bǔ)角．
（3）先求出平面ABC₁D₁的法向量，再求出正方體各面的法向量，平面ABC₁D₁的法向量與正方體各面的法向量所成角即為平面ABC₁D₁與正方體的各個(gè)面所成二面角的大�。�
解答：解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）
（1）（Ⅰ）∵E（1，，0），F(xiàn)（，1，0），∴=（-，，0），
∵=（-1，1，0），∴，∴EF∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁C₁B，∴EF∥面A₁C₁B
（Ⅱ）∵=（1，1，1），=（-1，1，0），=（0，-1，1）
∴=-1×1+1×1+1×0=0，=-1×1+1×1+1×0=0
∴DB₁⊥A₁C₁，DB₁⊥A₁B，A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴DB₁⊥平面BA₁C₁，
∴B₁D與平面A₁C₁B所成的角度數(shù)為90°
（2）∵E（1，0，），F(xiàn)（（1，，0），G（1，1，），H（，1，1）
∴=（0，，-），=（-，0，）
∵cos＜＞===-
∴＜＞=120°，異面直線所成的角范圍為（0，）
∴異面直線EF與GH所成的角為60°
（3）∵DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，
∴DA₁⊥平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁的法向量為=（1，0，1）
由正方體的性質(zhì)可知：平面ABCD的法向量為=（0，0，1）；
平面AD₁的法向量為=（0，1，0）；平面CD₁的法向量為=（1，0，0）；
cos＜＞=，cos＜＞=0，cos＜＞=，
∴平面ABC₁D₁與正方體的其它各個(gè)面所成二面角的大小分別是45°，90°，45°
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在正方體中，線面平行的證明，異面直線所成角，線面角，二面角的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力，轉(zhuǎn)換能力，識(shí)圖能力以及計(jì)算能力．