Question

如圖，某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路，點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為(0°＜＜90°)，且sin＝，點(diǎn)P到平面α的距離PH＝0.4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點(diǎn)O到山腳修路的造價(jià)為a萬(wàn)元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km．當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為lkm(1≤l≤2)時(shí)，其造價(jià)為(l²＋1)a萬(wàn)元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB＝1.5(km)，OA＝(km)．

(Ⅰ)在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線PDAO修建公路的總造價(jià)最��；

(Ⅱ)對(duì)于(Ⅰ)中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)最�。�

(Ⅲ)在AB上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(Ⅱ)中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)如圖， 　　，，， 　　所以，所以是 　　山坡與所成二面角的平面角，則， 　　．設(shè)，． 　　則． 　　記總造價(jià)為萬(wàn)元， 　　據(jù)題設(shè)有 　　 　　當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最�。� 　　(Ⅱ)設(shè)，，總造價(jià)為萬(wàn)元，根據(jù)題設(shè)有 　　． 　　則，由，得y＝1． 　　當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是減函數(shù)； 　　當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是增函數(shù)． 　　故當(dāng)，即(km)時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬(wàn)元． 　　(Ⅲ)解法一：不存在這樣的點(diǎn)，． 　　事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，．為使總造價(jià)最小，顯然不能位于與之間．故可設(shè)位于與之間，且＝，，，總造價(jià)為萬(wàn)元，則．類(lèi)似于(Ⅰ)、(Ⅱ)討論知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(Ⅱ)中得到的最小總造價(jià)． 　　解法二：同解法一得 　　 　　． 　　當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，S取得最小值，以上同解法一．