Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x+1}$，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow j=（0，1）$，θ_n是向量$\overrightarrow{O{A_n}}$與$\overrightarrow j$的夾角，則$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=（　�。�

• A． $\frac{2015}{1008}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{4032}{2017}$

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{O{A}_{n}}$，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算cosθ_n，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系得出sinθ_n，化簡(jiǎn)得$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，然后使用裂項(xiàng)法求和即可．

解答 解：$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=（n，$\frac{2}{n+1}$），
∴cosθ_n=$\frac{\overrightarrow{O{A}_{n}}•\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{O{A}_{n}}||\overrightarrow{i}|}$=$\frac{\frac{2}{n+1}}{\sqrt{{n}^{2}+\frac{4}{（n+1）^{2}}}}$=$\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}{n}^{2}+4}}$，
∴sinθ_n=$\sqrt{1-co{s}^{2}{θ}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{（n+1）^{2}{n}^{2}+4}}$，
∴$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$）
=2（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)列求和，計(jì)算通項(xiàng)是關(guān)鍵，屬于中檔題．