Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=-3n²+49n．
（1）請(qǐng)問(wèn)數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列？如果是，請(qǐng)證明；
（2）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）使用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出通項(xiàng)公式a_n，再計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的差判斷是否為常數(shù)即可；
（2）判斷{a_n}的符號(hào)，對(duì)n進(jìn)行討論得出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和與S_n的關(guān)系．

解答 解：（1）∵${S_n}=-3{n^2}+49n$，∴a₁=S₁=46．
∴${S_{n-1}}=-3{（{n-1}）^2}+49（{n-1}）（{n≥2}）$，
∴a_n=S_n-S_n-1=-6n+52（n≥2），
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=-6n+52，
∴a_n+1-a_n=-6，
∴{a_n}為等差數(shù)列．
（2）∵a_n=-6n+52，∴當(dāng)n≤8時(shí)，a_n＞0，當(dāng)n≥9時(shí)，a_n＜0，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
則T_n=a₁+a₂+a₃+…+a₈-a₉-a₁₀-…-a_n，
∴當(dāng)n≤8時(shí)，T_n=S_n=-3n²+49n；
當(dāng)n＞8時(shí)，T_n=-S_n+2S₈=3n²-49n+400．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3{n}^{2}+49，n≤8}\\{3{n}^{2}-49n+400，n＞8}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差關(guān)系的判斷，數(shù)列求和，屬于中檔題．