Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}$-e^x（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），求出函數(shù)的極值點，通過導函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ） 當$ln\frac{1}{a}≥2$，ln$\frac{1}{a}$≤1，ln$\frac{1}{a}$≤1，分別求解函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}$-e^x（a＞0），則f′（x）=$\frac{1}{a}$-e^x       …（1分）
令$\frac{1}{a}-{e^x}=0$，則$x=ln\frac{1}{a}$…（3分）
當x變化時，f′（x）、f（x）隨x變化如下表：

x	$（-∞，ln\frac{1}{a}）$	ln $\frac{1}{a}$	$（ln\frac{1}{a}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

…（5分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，ln\frac{1}{a}）$；單調(diào)遞減區(qū)間為$（ln\frac{1}{a}，+∞）$．…（6分）
（Ⅱ） 當$ln\frac{1}{a}≥2$，即$0＜a≤\frac{1}{e^2}$時，$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{2}{a}-{e^2}$…（8分）
當1＜ln$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）_max=f（ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$  …（10分）
當ln$\frac{1}{a}$≤1，即a$≥\frac{1}{e}$時，$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{a}-e$…（12分）
綜上所述：①當$0＜a≤\frac{1}{e^2}$時，$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{2}{a}-{e^2}$
②當$\frac{1}{e^2}＜a＜\frac{1}{e}$時，$f{（x）_{max}}=f（ln\frac{1}{a}）=\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}-\frac{1}{a}$
③當$a≥\frac{1}{e}$時，$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{a}-e$（有總結(jié)不加分，無總結(jié)扣1分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應用．