Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-bx+c（b，c∈R）
（Ⅰ）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1，求b，c的值；
（Ⅱ）若b=1，函數f（x）在區(qū)間（0，2）內有唯一零點，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數f′（x），根據f′（1）=2可求出b的值，再根據切點既在切線上又在函數圖象上可求出c的值；
（Ⅱ）先利用導數研究函數的單調性，從而得到f（x）在區(qū)間（0，2）內有唯一零點等價于f（1）=0或

f(0)≤0 f(2)＞0

，解之即可求出c的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

等價于f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤

4

3

，討論b的取值范圍，求出f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M，建立關系式，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³-bx+c，
∴f′（x）=x²-b，
∴f′（1）=1-b=2，解得b=-1，
又f（1）=2+1=3，
∴

1

3

-b+c=3，解得c=

5

3

；
（Ⅱ）∵b=1，
∴f（x）=

1

3

x³-x+c，則f′（x）=x²-1，
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，
又f（0）=c＜f（2）=

2

3

+c，
可知f（x）在區(qū)間（0，2）內有唯一零點等價于f（1）=0或

f(0)=c≤0 f(2)= 2 3 +c＞0

，
解得c=

2

3

或-

2

3

＜c≤0；
（Ⅲ） 若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

等價于f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤

4

3

，
（ⅰ） 當b≤0時，在[-1，1]上f′（x）≥0，f（x）在[-1，1]上單調遞增，
由M=f（1）-f（-1）=

2

3

-2b≤

4

3

，得b≥-

1

3

，所以-

1

3

≤b≤0，
（ⅱ）當b＞0時，由f′（x）=0得x=±

b

，
由f（x）=f（-

b

）得x=2

b

或x=-

b

，
∴f（2

b

）=f（-

b

），同理f（-2

b

）=f（

b

），
①當

b

＞1，即b＞1時，M=f（-1）-f（1）=2b-

2

3

＞

4

3

，與題設矛盾，
②當

b

≤1≤2

b

，即

1

4

≤b≤1時，M=f（-2

b

）-f（

b

）=-

2

3

(

b

)3+2b

b

=

4

3

(

b

)3≤

4

3

恒成立，
③當2

b

＜1，即0＜b＜

1

4

時，M=f（1）-f（-1）=

2

3

-2b≤

4

3

恒成立，
綜上所述，b的取值范圍為[-

1

3

，1]．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，導數的幾何意義，以及研究函數的零點問題，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性，利用導數研究函數最值問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．