Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosφ，sinφ）（|φ|＜

π

2

）．函數(shù)f（x）=

a

•

b

 且f（

π

3

-x）=f（x）．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）將f（x）的圖象向右平移

π

3

單位得g（x）的圖象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，

π

4

]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得f（x）=sin（x+φ），f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，進(jìn)而可得φ=

π

3

，可得f（x）=sin（x+

π

3

），易得遞增區(qū)間；
（2）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，

π

4

]上恒成立，令h（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），x∈[0，

π

4

]；φ（x）=ax-1，作圖可得a≥k_AB即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
再由f（

π

3

-x）=f（x）可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，
∴

π

6

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

∴f（x）=sin（x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由圖象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，

π

4

]上恒成立．
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，

π

4

]上恒成立
令h（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），x∈[0，

π

4

]；φ（x）=ax-1
如下圖：h（x）的圖象在φ（x）圖象的下方，
則：a≥k_AB=

0-(-1)

π 4 -0

=

4

π

，故a≥

4

π

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性和恒成立問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．