Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內(nèi)有極值．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若．x₁∈（0，），x₂∈（2，∞）且a∈[，2]時(shí)，求證：，f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．

Answer 1

解：（I）由f（x）=alnx+（a≠0），
得：，
∵a≠0，令，
∴g（0）=1＞0．
令或，
則0＜a＜2．
（II）由（I）得：，
設(shè)ax²-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的兩根為α，β，
則，得．
當(dāng)x∈（0，α）和（β，+∞）時(shí)，，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈和（2，β）時(shí)，，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
則f（x₁）≤f（a），f（x₂）≥f（β），
則f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）=alnβ-alnα-
=
=（利用）
令，x＞2
則，
則函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
h（x）≥h（2）=2ln2+，
∴，
∵，
則，
∴f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．
分析：（I）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，由a≠0，令，知g（0）=1＞0．由此能求出實(shí)數(shù)a的范圍．
（II）由（I）得：，設(shè)ax²-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的兩根為α，β，則，得．由此入手能夠證明f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法和不等式的證明，考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上最值的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．