Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率，恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng),，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，已知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而的極大值為,此即為最大值；（2）由題意可得，則問(wèn)題等價(jià)于在上，恒成立，即在上恒成立，∴；（3）問(wèn)題等價(jià)于方程有唯一實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，考慮通過(guò)判斷其單調(diào)性，從而可得，可進(jìn)一步設(shè)函數(shù),由是增函數(shù),可知至多有一解，又由,故的極小值點(diǎn)即為,即,解得．

試題解析：（1）依題意，知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206045123585708/SYS201502120605002674980046_DA/SYS201502120605002674980046_DA.029.png">，當(dāng)時(shí)，, ，令，解得，

∴當(dāng)時(shí),，此時(shí)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減，

∴的極大值為,此即為最大值；

（2）,則有，在上恒成立，

∴,，當(dāng)時(shí),取得最大值,∴；

（3）∵方程有唯一實(shí)數(shù)解,∴有唯一實(shí)數(shù)解,

設(shè),則，

令,，

∵，∴（舍去）,,

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),,取最小值，

則 即 ，

∴，∵，∴，

設(shè)函數(shù),∵當(dāng)時(shí),是增函數(shù),∴至多有一解，

∵,∴方程（*）的解為,即,解得．

考點(diǎn)：1．通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2．恒成立問(wèn)題．