已知P、Q、M、N四點都在中心為坐標(biāo)原點，離心率為
2
2
，左焦點為F（-1，0）的橢圓C上，已知
PF
與
FQ
共線，
MF
與
FN
共線，
PF
•
MF
=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試用直線PQ的斜率k（k≠0）表示四邊形PMQN的面積S，求S的最小值．
分析：（1）設(shè)出橢圓方程，利用離心率為
2
2
，左焦點為F（-1，0）的橢圓C上，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面積，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則a2=b2+c2
∵c=1，
c
a
=
2
2

∴a=
2
，b=1
∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1；
（2）由題意，PQ與MN垂直于F，設(shè)PQ的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，可得
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-
4k2
1+2k2
，x1x2=
2k2-2
1+2k2

∴|PQ|=
1+k2
|x1-x2|=
2
2
(1+k2)
1+2k2

同理，|MN|=
2
2
(1+k2)
2+k2

∴SPMQN=
1
2
|PQ||MN|=2-
2k2
2k4+5k2+2
=2-
2
2k2+
2
k2
+5
≥
16
9

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時，取等號
∴四邊形PMQN的面積的最小值為
16
9
．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列四個命題中，正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的一個焦點為F（0，1），過點F且垂直于長軸的直線被橢圓C截得的弦長為
2
；P，Q，M，N為橢圓C上的四個點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若
PF
∥
FQ
，
MF
∥
FN
且
PF
•
FM
=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山西省高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

下列四個命題中，正確的是（ ）
A．“m＞n”是“”的充分不必要條件
B．命題“若a＞b，則2a＞2b-1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b-1”
C．已知p：存在實數(shù)x，使得：對任意實數(shù)x，都有x2-x+1＞0，則命題“p∧¬q”是真命題
D．“對任意實數(shù)x，都有x2+1≥1”的否定是“存在實數(shù)x，使得x2+1≤1”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省徐州市高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷Ⅰ（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點，若，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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