Question

【題目】為了回饋顧客，某商場(chǎng)在元旦期間舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為 ，中獎(jiǎng)可以獲得3分；方案乙的中獎(jiǎng)率為 ，中獎(jiǎng)可以獲得2分；未中獎(jiǎng)則不得分，每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，抽獎(jiǎng)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≥3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，分別求兩種方案下小明、小紅累計(jì)得分的分布列，并指出為了累計(jì)得分較大，兩種方案下他們選擇何種方案較好，并給出理由？

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得小明中獎(jiǎng)的概率為 ，小紅中獎(jiǎng)的概率為 ，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響，

記“這兩人的累計(jì)得分X≥3”的事件為A，則事件A包含“X=3”、“X=5”2個(gè)互斥的事件，

∴X≥3的概率P（X≥3）=P（X=3）+P（X=5）= =

（2）解：設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，則X1的所有可能的取值為0，3，6，

則X1的分布列為：

X1	0	3	6
P

E（X1）= = ．

都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X2的所有可能取值為0，2，4，

則X2的分布列為：

X2	0	2	4
P

E（X2）= =3，

∵E（X1）＞E（X2），∴他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大

【解析】（1）由已知得小明中獎(jiǎng)的概率為 ，小紅中獎(jiǎng)的概率為 ，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響，記“這兩人的累計(jì)得分X≥3”的事件為A，則事件A包含“X=3”、“X=5”2個(gè)互斥的事件，由此能求出X≥3的概率．（2）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，則X1的所有可能的取值為0，3，6，求出X1的分布列和E（X1）；都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X2的所有可能取值為0，2，4，求出X2的分布列和E（X2），從而得到E（X1）＞E（X2），進(jìn)而得到他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)可以得問(wèn)題的答案，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．