Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有零點，則ab的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有零點，

∴△=a2﹣4b≥0，

（i）若△=0，即b= 時，f（x）的零點為x=﹣ ，

∴0≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤0，

∴ab= ，

∴當a=0時，ab取得最大值0；

（ii）若△＞0，即b＜ ，

①若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有一個零點，則f（0）f（1）≤0，

∴b（1+a+b）≤0，

即b+b2+ab≤0，

∴ab≤﹣b2﹣b=﹣（b+ ）2+ ，

∴ab的最大值是 ；

②若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有兩個零點，

∴ ，即

顯然ab≤0，

綜上，ab的最大值為 ．

【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．