Question

以下四個(gè)命題：
①平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；
②拋物線y=ax²的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

|a|

4

；
③直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長(zhǎng)為4

3

p．其中正確命題的序號(hào)是______．

Answer 1

①當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線l上時(shí)，平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線；故錯(cuò)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，整理拋物線方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，

1

4a

)，拋物線y=ax²的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

1

4|a|

；故錯(cuò)；
③當(dāng)直線l不是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線時(shí)，直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p不成立，故③錯(cuò)；
④設(shè)正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （

m2

2p

，m），（

m2

2p

，-m），由 tan30°=

3

3

=

m

m2 2p

，
解得 m=2

3

p，故這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為 2m=4

3

p，
故正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長(zhǎng)為4

3

p正確．
其中正確命題的序號(hào)是 ④．
故答案為：④．