Question

（2011•鹽城二模）已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

是定義在R上的奇函數(shù)，其值域為[-

1

4

，

1

4

]．
（1）試求a、b的值；
（2）函數(shù)y=g（x）（x∈R）滿足：①當x∈[0，3）時，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函數(shù)g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，試探求m的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于 函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），構造方程，可求a與b值；
（2）由題意以及①當x∈[0，3）時，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．得到g(x)=

(x-3)lnm (x-3)2+4     x∈[3，6) (x-6)(lnm)2 (x-6)2+4   x∈[6，9)

；
對參數(shù)lnm分類討論，再依據(jù)函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）定義域為R，∴b＞0．
又f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，得a=0．（2分）
因為y=f（x）=

x

x2+b

的定義域為R，所以方程yx²-x+by=0在R上有解．
當y≠0時，由△≥0，得-

1

2 b

≤y≤

1

2 b

，
而f（x）的值域為[-

1

4

，

1

4

]，所以

1

2 b

=

1

4

，解得b=4；
當y=0時，得x=0，可知b=4符合題意．所以b=4．（5分）
（2）①因為當x∈[0，3）時，g（x）=f（x）=

x

x2+4

，
所以當x∈[3，6）時，g（x）=g（x-3）lnm=

(x-3)lnm

(x-3)2+4

；（6分）
當x∈[6，9）時，g（x）=g（x-6）（lnm）²=

(x-6)(lnm)2

(x-6)2+4

，
故g(x)=

(x-3)lnm (x-3)2+4     x∈[3，6) (x-6)(lnm)2 (x-6)2+4   x∈[6，9)

（9分）
②因為當x∈[0，3）時，g（x）=

x

x2+4

在x=2處取得最大值為

1

4

，在x=0處取得最小值為0，（10分）
所以當3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）時，g（x）=

(x-3n)(lnm)2

(x-3n)2+4

分別在x=3n+2和x=3n處取得最值為

(lnm)n

4

與0．（11分）
（ⅰ） 當|lnm|＞1時，g（6n+2）=

(lnm)2n

4

的值趨向無窮大，從而g（x）的值域不為閉區(qū)間；（12分）
（ⅱ） 當lnm=1時，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3為周期的函數(shù)，從而g（x）的值域為閉區(qū)間[0，

1

4

]；（13分）
（ⅲ） 當lnm=-1時，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6為周期的函數(shù)，
且當x∈[3，6）時g（x）=

-(x-3)

(x-3)2+4

值域為[-

1

4

，0]，從而g（x）的值域為閉區(qū)間[-

1

4

，

1

4

]；（14分）
（ⅳ） 當0＜lnm＜1時，由g（3n+2）=

(lnm)n

4

＜

1

4

，得g（x）的值域為閉區(qū)間[0，

1

4

]；（15分）
（ⅴ） 當-1＜lnm＜0時，由

lnm

4

≤g（3n+2）=

(lnm)n

4

＜

1

4

，從而g（x）的值域為閉區(qū)間[-

lnm

4

，

1

4

]．
綜上知，當m∈[

1

e

，1]∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0時，g（x）的值域為閉區(qū)間．（16分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性，函數(shù)的值域，解題的關鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及分類討論求出參數(shù)的取值范圍．