Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²+ax（a∈R）
（1）若f（x）在x=2處取得極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極大值和極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，求出a；令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）利用二次方程實(shí)根的分布，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，從判別式、對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)值的正負(fù)，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：f′（x）=x²+（a-1）x+a
（1）∵f（x）在x=2處取得極值
∴f′（2）=0
∴4+2（a-1）+a=0
∴a=-

2

3

∴f′(x)=x2-

5

3

x-

2

3

=(x+

1

3

)(x-2)
令f′（x）＞0則(x+

1

3

)(x-2)＞0
∴x＞2或x＜

1

3

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

3

)，   (2，+∞)
（2）∵f（x）在（0，1）內(nèi)有極大值和極小值
∴f′（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩不等根
對稱軸x=-

a-1

2

∴

△＞0 0＜- a-1 2 ＜1 f′(0)＞0 f′(1)＞0

即

△=(a-1)2-4a＞0 -1＜a＜1 a＞0 1+a-1+a＞0

∴0＜a＜3-2

2

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0；解決二次方程的實(shí)根分布應(yīng)該從判別式、對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)值的正負(fù)加以限制．